Основные ресурсы: память и время. О-символика. Примеры моделей вычисления: машина Тьюринга, RAM-машина. Сложность в среднем и худшем случаях.

Анализ учетных стоимостей операций. Банковский метод. Метод потенциалов: функция потенциала, истинные и учетные стоимости. Задача о двоичном счетчике.

Массивы переменного размера: аддитивная и мультипликативная схемы реаллокации. Анализ мультипликативной схемы для массива переменного размера с помощью банковского метода.

Стеки и очереди. Реализация на основе массива переменного размера и на основе связанного списка. Моделирование очереди с помощью двух стеков.

Изменяемые (mutable) и неизменяемые (immutable) структуры данных. Структуры данных с хранением истории (persistent). Immutable-стек и immutable-очередь. Проблема множественного будущего при анализе учетных cтоимоcтей в persistent-структурах.

Задача о поддержании динамического максимума в стеке и очереди.

Задача сортировки. Разрешающие деревья. Нижняя оценка сложности в модели разрешающих деревьев. Сортировка сравнениями. Понятия устойчивости и in-place. Понятие о методе «разделяй и властвуй»: quicksort и mergesort. Алгоритм Quick-Sort. Процедура Partition, два варианта её in-place реализации. Примеры неудачного выбора опорных элементов. Рандомизированный выбор опорного элемента. Сложность Quick-Sort в худшем и среднем случаях. Глубина рекурсии в худшем и среднем случаях. Подробности реализации (кратко): сортировка вставками для малых подмассивов, удаление хвостовой рекурсии, медиана трёх, переход в другому виду сортировки. Алгоритм Merge-Sort. Слияние двух упорядоченных списков. Оценка сложности. Нерекурсивная реализация. Сортировка слиянием без использования дополнительной памяти: swap вместо присваивания, использование части массива в качестве буфера, слияние с перекрыванием входа и выхода.

Понятие очереди с приоритетом. Деревья со свойствами кучи. Почти полные бинарные деревья: нумерация вершин, навигация. Двоичная куча. Операция просеивания вниз и вверх. Реализация операций вставки, удаления и поиска минимума. Сложность операций. Поддержание указателей на элементы кучи. Преобразование произвольного массива ключей в кучу (операция Make-Heap), линейность времени работы. k-ичные кучи, зависимость сложности операций от выбора k

Биномиальные (binomial), левацкие (leftlist) и косые (skew) кучи.

Динамическое программирование вперёд. Граф зависимостей.

Процесс построения/перебора решения. Как получить по процессу решение динамическим программированием: шаги, остановка, важная информация. Параметры динамики, внесение параметра в целевую функцию. Уменьшение затрачиваемой памяти для динамики по слоям.

Примеры построения динамики для наибольшей возрастающей подпоследовательности:

• на шаге выбираем следующий добавляемый элемент
• на шаге решаем, добавлять или не добавлять элемент

Примеры построения динамики для задачи о рюкзаке:

• на шаге решаем, брать или не брать предмет
• как в 1, только можно добавлять балласт в любой момент
• на шаге решаем, какой предмет взять следующим

Решение задачи 8. Букет. Параметры динамики, если перебирать предметы. Параметры, если добавить сортировку. Решение за O(N S) времени и O(S) памяти.

Слияние двух упорядоченных последовательностей различной длины. Теоретико-информационная нижняя оценка. Бинарный поиск от края (galloping). Нахождение порядковых статистик с помощью рандомизированной модификации алгоритма Quick-Sort. Линейность матожидания времени работы. Приближенные медианы. Выбор k-й порядковой статистики за линейное в худшем случае.

Хеш-функции. Коллизии. Разрешение коллизий методом цепочек, методом последовательных проб и методом двойного хеширования. Гипотеза простого равномерного хеширования, оценка средней длины цепочки. Универсальные семейства хеш-функций, оценка средней длины цепочки. Построение универсального семейства для целочисленных ключей. Совершенные хеш-функции. Построение совершенной хеш-функции с помощью универсального семейства (размер m = O(n^2)). Двухуровневая хеш-таблица (размер m = O(n)).

Определение дерева поиска. Вставка и удаление элементов. Inorder-обход дерева. Красно-черные деревья: определение и основные свойства. Реализация операций вставки для красно-черного дерева. Splay-деревья. Операция splay: zig, zig-zig и zig-zag шаги. Реализация операций вставки, удаления, слияния и разделения для splay-деревьев.

Декартовы деревья (дучи). Единственность декартова дерева для заданного набора различных ключей и приоритетов. Логарифмическая оценка матожидания высоты дучи. Операции слияния и разделения для дуч. Операции вставки и удаления элементов для дуч. Построение декартового дерева за линейное время при условии предварительной сортировки ключей. B+ деревья: определения и основные свойства. Операции поиска, вставки и удаления для B+ деревьев.

Статические задачи RMQ/RSQ (range minimum/sum query) и LCA (least common ancestor). Оптимальное решение задачи RSQ. Решение задачи LCA методом бинарного подъёма (O(NlogN) памяти, запрос за O(logN) времени). Сведение от задачи RMQ к задаче LCA: декартово дерево. Сведение задачи LCA к задаче ±1-RMQ: Эйлеров обход дерева. Простейшие алгоритмы для решения задачи RMQ: полная и разреженная таблицы ответов. Алгоритм Фарах-Колтона-Бендера для задачи ±1-RMQ: деление массива на блоки, предподсчёт для префиксов и суффиксов блоков, предподсчёт всех нормализованных блоков. Алгоритм Тарьяна для поиска LCA в режиме offline.

Задача о динамической связности: вставки и удаления ребер, запросы о связности. Частный случай задачи для случая лесов. Деревья эйлеровых обходов: слияние и разделение.