Теория множеств.Основные понятия теории множеств. Бинарные отношения и функции. Рефлексивность, симметричность, транзитивность. Взаимно-однозначные соответствия. Счетные множества.

Элементарный асимптотический анализ.Асимптотики сумм и рекуррентных последовательностей. Преобразование Абеля и теорема Штольца. Оценки и асимптотики для комбинаторных величин. Элементарные оценки факториалов, биномиальных коэффициентов и пр. Формула Стирлинга (без доказательства).

Оценки и асимптотики для комбинаторных величин.Понятие об энтропии. Асимптотики для биномиальных коэффициентов и прочее. Оценки сумм биномиальных коэффициентов. Замена сумм интегралами в асимптотических оценках. Преобразование Абеля. Примеры: гармонические числа, постоянная Эйлера, суммирование по простым числам и т.д.

Рекуррентные соотношения и производящие функции. Числа Фибоначчи. Формула Бинэ и матричное представление чисел Фибоначчи. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Применение производящих функций для решения рекуррентных соотношений.

Производящие функции. Применение степенных рядов и производящих функций для доказательства комбинаторных тождеств. Производящие функции для биномиальных коэффициентов. Произведение Адамара. Взаимно рекуррентные последовательности.

Экспоненциальные производящие фунцкии. Формальная связь с обычными производящими функциями. Факториальные степени. Числа Стирлинга и их применение. Числа Белла.

Числа и многочлены Бернулли. Формула суммирования Эйлера–Маклорена. Ее частные случаи и приложения.

Основы теории вероятностей. Дискретная вероятность. Классическое определение вероятности. Условные вероятности. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема Бернулли. Полиномиальная схема. Случайные графы и множества. Приложения к комбинаторике: нижняя оценка чисел Рамсея, теоремы Эрдеша-Мозера и Эрдеша-Хайнала.

Случайные величины. Функции распределения. Независимые случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Неравенства Маркова,Чебышёва и Чернова.

Предельные теоремы. Ковариация и коэффициент корреляции. Независимость и некоррелированность случайных величин. Приложения случайных величин к комбинаторике и теории чисел: выбор двудольного подграфа, доказательство Турана теоремы Харди–Рамануджана о типичном числе простых делителей. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра–Лапласа для схемы Бернулли. Теорема Пуассона.

Геометрическая вероятность и общее определение вероятности. Парадокс Бертрана. Метод Монте-Карло. Абсолютно непрерывные распределения. Основные виды распределений. Числовые характеристики распределений: математическое ожидание, дисперсия, моменты, факториальные моменты. Совместные распределения. Ковариация и корреляция.

Производящие функции и характеристические функции случайных величин.Центральная предельная теорема (различные формулировки).