Основы дискретной математики
Санкт-Петербург, осень 2018
Описание
Целью курса является знакомство слушателей с основными понятиями и методами дискретной математики.
Правила сдачи курса:
Будет выдано семь домашних заданий, на последнем семинаре состоится контрольная работа. Пусть $H$ — сумма ваших баллов за все домашние работы, а $T$ — ваши баллы за контрольную. Тогда ваш финальный балл за курс определяется так: $$S \,=\, 0.6 \frac{H + B}{max(H)} \,+\, 0.4\frac{T}{max(T)},$$
где
$H$ — набранные баллы за домашние работы,
$max(H)$ — максимально возможные баллы за домашние работы,
$T$ — набранные баллы за контрольную (максимум из двух попыток),
$max(T)$ — максимально возможные баллы за контрольную,
$B$ — бонусные баллы за разборы на семинарах и допзадачи.
Будет две попытки написания контрольной. Пусть домашнее задание номер $i$ может принести $a_i$ баллов; тогда эти баллы учитываются в общей сумме, если вы набрали за задание $i$ не меньше, чем $0.6 \cdot a_i$ баллов (если студент набрал меньше 60% баллов за конкретную тему, эта тема не учитывается).
Алгоритм выставления оценок:
- $0.8 \le S$ — оценка 5
- $0.7 \le S < 0.8$ — оценка 4
- $0.6 \le S < 0.7$ — оценка 3
- $S < 0.6$ — вы молодец, но курс не засчитывается
Текущие успехи ведутся в этой Google-табличке. По всем вопросам о курсе, семинарах и домашних заданиях можно писать преподавателю практики Михаилу Слабодкину на slabodkin.m@gmail.com
Книги – источники знаний
(перечислены в порядке возрастания сложности)
- Н. Я. Виленкин —
Комбинаторика
- Miklós Bóna —
A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory
- Marshall Hall –
Combinatorial Theory
(существует в русском варианте) - Stasys Jukna –
Extremal Combinatorics
Преподаватели
Список лекций
Основные комбинаторные величины и простейшие комбинаторные формулы. Числа размещения и сочетания (с повторениями и без повторений). Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты. Простейшие соотношения на биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Обобщение бинома Ньютона и мультиномиальные коэффициенты.
Формула включений-исключений. Субфакториалы (задача о беспорядках). Формула обращения Мебиуса.
Понятие частично упорядоченного множества. Функция Мебиуса для частично упорядоченного множества. Цепи и антицепи. Теорема Дилуорса (б/д). Теорема Мирского.
Четность перестановки, разложение в произведение транспозиций, разбиение на циклы, четность цикла, классы сопряженных и циклический тип перестановки.
Задачи о разбиениях чисел на слагаемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения. Диаграммы Юнга. Рекуррентные соотношения для функций разбиения. Формула Харди-Рамануджана (б/д).
Рекуррентные соотношения. Числа Каталана и числа Белла. Различные интерпретации чисел Каталана.
Использование линейной алгебры для доказательства комбинаторных результатов. Различные примеры использования этого метода (неравенство Фишера, (n,k)-плотные множества, множества с двумя расстояниями и т.д.)
Графы и орграфы. Основные определения. Матрицы смежности и инцидентности. Маршруты, пути и циклы. Связность, компоненты связности. Деревья и их свойства.
Связность орграфов: различные виды связности, компоненты сильной связности, граф компонент. Турнирные графы. Гамильтоновы пути в турнирном графе. Теорема Редеи (б/д). Циклы в сильно связных турнирах. Теорема Муна.
Двудольные графы, критерий двудольности. Вершинные и реберные раскраски графа. Простейшие свойства раскрасок. Теорема Брукса. Теоремы Визинга и Гупты (б/д). Совершенные графы. Слабая и сильная гипотезы Бержа: доказательство слабой гипотезы.
Независимые множества и покрытия. Связь между ними. Паросочетания в двудольном графе: теоремы Холла и Кёнига. Вывод теоремы Дилуорса из теоремы Кёнига.
Планарные и плоские графы. Формула Эйлера и следствия из нее. Понятие двойственного графа. Критерий раскрашиваемости граней в 2 цвета. Раскраска вершин планарного графа в 5 цветов. Гипотеза о четырех красках: формулировка, эквивалентность Тейта (б/д), обсуждение компьютерного доказательства. Теорема Куратовского (б/д).