Основы дискретной математики
Санкт-Петербург, осень 2017
Описание
Целью курса является знакомство слушателей с основными понятиями и методами дискретной математики.
Правила сдачи курса:
Будет выдано семь домашних заданий, на одном из последних семинаров состоится контрольная работа. Для засчитывания курса необходимо сдать хотя бы пять домашних заданий на проходной балл (обычно это ≈70-80% от максимума баллов за задание) и засчитать контрольную.
Алгоритм выставления оценок:
- 5 — засчитано 7 домашних заданий и контрольная
- 4 — засчитано 6 домашних заданий и контрольная
- 3 — засчитано 5 домашних заданий и контрольная
Если вы набрали 90% от суммы баллов по всем домашним заданиям, автоматически засчитываются все 7. Контрольную в этом случае сдать всё равно нужно.
Таблица с результатами домашних заданий доступна по ссылке:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1QvzwJnxjqwup8tWtbaN3ulUtX9DYJVHgYt5TuDRVPKw/edit?usp=sharing
По всем вопросам о курсе, семинарах и домашних заданиях можно писать преподавателю практики Михаилу Слабодкину на slabodkinm@gmail.com
Преподаватели
Список лекций
Основные комбинаторные величины и простейшие комбинаторные формулы. Числа размещения и сочетания (с повторениями и без повторений). Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты. Простейшие соотношения на биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Обобщение бинома Ньютона и мультиномиальные коэффициенты.
Формула включений-исключений. Субфакториалы (задача о беспорядках). Формула обращения Мебиуса.
Понятие частично упорядоченного множества. Функция Мебиуса для частично упорядоченного множества. Цепи и антицепи. Теорема Дилуорса (б/д). Теорема Мирского.
Четность перестановки, разложение в произведение транспозиций, разбиение на циклы, четность цикла, классы сопряженных и циклический тип перестановки.
Задачи о разбиениях чисел на слагаемые. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения. Диаграммы Юнга. Рекуррентные соотношения для функций разбиения. Теоремы Харди- Рамануджана (б/д).
Рекуррентные соотношения. Числа Каталана и числа Белла. Различные интерпретации чисел Каталана.
Использование линейной алгебры для доказательства комбинаторных результатов. Различные примеры использования этого метода (неравенство Фишера, (n,k)-плотные множества, множества с двумя расстояниями и т.д.)
Графы и орграфы. Основные определения. Матрицы смежности и инцидентности. Маршруты, пути и циклы. Связность, компоненты связности. Деревья и их свойства.
Связность орграфов: различные виды связности, компоненты сильной связности, граф компонент. Турнирные графы. Гамильтоновы пути в турнирном графе. Теорема Редеи (б/д). Циклы в сильно связных турнирах. Теорема Муна.
Двудольные графы, критерий двудольности. Вершинные и реберные раскраски графа. Простейшие свойства раскрасок. Теорема Брукса. Теоремы Визинга и Гупты (б/д). Совершенные графы. Слабая и сильная гипотезы Бержа: доказательство слабой гипотезы.
Независимые множества и покрытия. Связь между ними. Паросочетания в двудольном графе: теоремы Холла и Кёнига. Вывод теоремы Дилуорса из теоремы Кёнига.
Планарные и плоские графы. Формула Эйлера и следствия из нее. Понятие двойственного графа. Критерий раскрашиваемости граней в 2 цвета. Раскраска вершин планарного графа в 5 цветов. Гипотеза о четырех красках: формулировка, эквивалентность Тейта (б/д), обсуждение компьютерного доказательства. Теорема Куратовского (б/д).